Selesaikan {l}{x+y=-1}{4x-2y=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = - 1 } \\ { 4 x - 2 y = - 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=-1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y-1$$

Gantikan -y-1 dengan x dalam persamaan lain, 4x-2y=-16.

$$4\left(-y-1\right)-2y=-16$$

Darabkan 4 kali -y-1.

$$-4y-4-2y=-16$$

Tambahkan -4y pada -2y.

$$-6y-4=-16$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-6y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2-1$$

Tambahkan -1 pada -2.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-4}&-\frac{1}{-2-4}\\-\frac{4}{-2-4}&\frac{1}{-2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{6}\left(-16\right)\\\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

Untuk menjadikan x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$4x+4y=4\left(-1\right),4x-2y=-16$$

Permudahkan.

$$4x+4y=-4,4x-2y=-16$$

Tolak 4x-2y=-16 daripada 4x+4y=-4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+4y+2y=-4+16$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y+2y=-4+16$$

Tambahkan 4y pada 2y.

$$6y=-4+16$$

Tambahkan -4 pada 16.

$$6y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 4x-2y=-16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-2\times 2=-16$$

Darabkan -2 kali 2.

$$4x-4=-16$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=2$$