Selesaikan {l}{x+my=a}{x-ny=b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+my=a$$

Tolak my daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\left(-m\right)y+a$$

Gantikan a-my dengan x dalam persamaan lain, x+\left(-n\right)y=b.

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

Tambahkan -my pada -ny.

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

Tolak a daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -m-n.

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Gantikan -\frac{b-a}{m+n} dengan y dalam x=\left(-m\right)y+a. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

Darabkan -m kali -\frac{b-a}{m+n}.

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

Tambahkan a pada \frac{m\left(b-a\right)}{m+n}.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Tolak x+\left(-n\right)y=b daripada x+my=a dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+my+ny=a-b$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$my+ny=a-b$$

Tambahkan my pada ny.

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan m+n.

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

Gantikan \frac{a-b}{m+n} dengan y dalam x+\left(-n\right)y=b. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

Darabkan -n kali \frac{a-b}{m+n}.

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

Tambahkan \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$