Selesaikan {l}{x+5y=5}{3x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 5 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{25}{17} = 1\frac{8}{17} \approx 1.470588235$$

$$y=\frac{12}{17}\approx 0.705882353$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+5y=5$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-5y+5$$

Gantikan -5y+5 dengan x dalam persamaan lain, 3x-2y=3.

$$3\left(-5y+5\right)-2y=3$$

Darabkan 3 kali -5y+5.

$$-15y+15-2y=3$$

Tambahkan -15y pada -2y.

$$-17y+15=3$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-17y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -17.

$$y=\frac{12}{17}$$

Gantikan \frac{12}{17} dengan y dalam x=-5y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-5\times \frac{12}{17}+5$$

Darabkan -5 kali \frac{12}{17}.

$$x=-\frac{60}{17}+5$$

Tambahkan 5 pada -\frac{60}{17}.

$$x=\frac{25}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5\times 3}&-\frac{5}{-2-5\times 3}\\-\frac{3}{-2-5\times 3}&\frac{1}{-2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 5+\frac{5}{17}\times 3\\\frac{3}{17}\times 5-\frac{1}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{17}\\\frac{12}{17}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Untuk menjadikan x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x+3\times 5y=3\times 5,3x-2y=3$$

Permudahkan.

$$3x+15y=15,3x-2y=3$$

Tolak 3x-2y=3 daripada 3x+15y=15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+15y+2y=15-3$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$15y+2y=15-3$$

Tambahkan 15y pada 2y.

$$17y=15-3$$

Tambahkan 15 pada -3.

$$17y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 17.

$$y=\frac{12}{17}$$

Gantikan \frac{12}{17} dengan y dalam 3x-2y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-2\times \frac{12}{17}=3$$

Darabkan -2 kali \frac{12}{17}.

$$3x-\frac{24}{17}=3$$

Tambahkan \frac{24}{17} pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{75}{17}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{25}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$