Selesaikan {l}{x+4y=5}{-2x-y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=\frac{6}{7}\approx 0.857142857$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+4y=5$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-4y+5$$

Gantikan -4y+5 dengan x dalam persamaan lain, -2x-y=-4.

$$-2\left(-4y+5\right)-y=-4$$

Darabkan -2 kali -4y+5.

$$8y-10-y=-4$$

Tambahkan 8y pada -y.

$$7y-10=-4$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=\frac{6}{7}$$

Gantikan \frac{6}{7} dengan y dalam x=-4y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-4\times \frac{6}{7}+5$$

Darabkan -4 kali \frac{6}{7}.

$$x=-\frac{24}{7}+5$$

Tambahkan 5 pada -\frac{24}{7}.

$$x=\frac{11}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{-1-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-1-4\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 5-\frac{4}{7}\left(-4\right)\\\frac{2}{7}\times 5+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{7}\\\frac{6}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

Untuk menjadikan x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-2x-2\times 4y=-2\times 5,-2x-y=-4$$

Permudahkan.

$$-2x-8y=-10,-2x-y=-4$$

Tolak -2x-y=-4 daripada -2x-8y=-10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x-8y+y=-10+4$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y+y=-10+4$$

Tambahkan -8y pada y.

$$-7y=-10+4$$

Tambahkan -10 pada 4.

$$-7y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=\frac{6}{7}$$

Gantikan \frac{6}{7} dengan y dalam -2x-y=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x-\frac{6}{7}=-4$$

Tambahkan \frac{6}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-\frac{22}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=\frac{11}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$