Selesaikan {l}{x+4y=1}{2x+y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 1 } \\ { 2 x + y = - 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+4y=1,2x+y=-5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+4y=1$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-4y+1$$

Gantikan -4y+1 dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=-5.

$$2\left(-4y+1\right)+y=-5$$

Darabkan 2 kali -4y+1.

$$-8y+2+y=-5$$

Tambahkan -8y pada y.

$$-7y+2=-5$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7y=-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=-4y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-4+1$$

Tambahkan 1 pada -4.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+4y=1,2x+y=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4\times 2}&-\frac{4}{1-4\times 2}\\-\frac{2}{1-4\times 2}&\frac{1}{1-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}+\frac{4}{7}\left(-5\right)\\\frac{2}{7}-\frac{1}{7}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+4y=1,2x+y=-5$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2\times 4y=2,2x+y=-5$$

Permudahkan.

$$2x+8y=2,2x+y=-5$$

Tolak 2x+y=-5 daripada 2x+8y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+8y-y=2+5$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y-y=2+5$$

Tambahkan 8y pada -y.

$$7y=2+5$$

Tambahkan 2 pada 5.

$$7y=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam 2x+y=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+1=-5$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=1$$