Selesaikan {l}{x+3=y}{x-2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 = y } \\ { x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-11$$

$$y=-8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x+3-y=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-y=-3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=-3,x-2y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=-3$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y-3$$

Gantikan y-3 dengan x dalam persamaan lain, x-2y=5.

$$y-3-2y=5$$

Tambahkan y pada -2y.

$$-y-3=5$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-8$$

Gantikan -8 dengan y dalam x=y-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-8-3$$

Tambahkan -3 pada -8.

$$x=-11$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-11,y=-8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x+3-y=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-y=-3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=-3,x-2y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&\frac{1}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-3\right)-5\\-3-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-8\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-11,y=-8$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x+3-y=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-y=-3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=-3,x-2y=5$$

Tolak x-2y=5 daripada x-y=-3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x-y+2y=-3-5$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-y+2y=-3-5$$

Tambahkan -y pada 2y.

$$y=-3-5$$

Tambahkan -3 pada -5.

$$y=-8$$

Gantikan -8 dengan y dalam x-2y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-2\left(-8\right)=5$$

Darabkan -2 kali -8.

$$x+16=5$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-11$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-11,y=-8$$