Selesaikan {l}{x+2y=7}{y-x=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { y - x = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=7,-x+y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=7$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y+7$$

Gantikan -2y+7 dengan x dalam persamaan lain, -x+y=1.

$$-\left(-2y+7\right)+y=1$$

Darabkan -1 kali -2y+7.

$$2y-7+y=1$$

Tambahkan 2y pada y.

$$3y-7=1$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{8}{3}$$

Gantikan \frac{8}{3} dengan y dalam x=-2y+7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times \frac{8}{3}+7$$

Darabkan -2 kali \frac{8}{3}.

$$x=-\frac{16}{3}+7$$

Tambahkan 7 pada -\frac{16}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=7,-x+y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 7-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\times 7+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=7,-x+y=1$$

Untuk menjadikan x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-x-2y=-7,-x+y=1$$

Tolak -x+y=1 daripada -x-2y=-7 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-x+x-2y-y=-7-1$$

Tambahkan -x pada x. Seubtan -x dan x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-y=-7-1$$

Tambahkan -2y pada -y.

$$-3y=-7-1$$

Tambahkan -7 pada -1.

$$-3y=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=\frac{8}{3}$$

Gantikan \frac{8}{3} dengan y dalam -x+y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+\frac{8}{3}=1$$

Tolak \frac{8}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-\frac{5}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$