Selesaikan {l}{x+2y=0}{5x+7y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 0 } \\ { 5 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=0,5x+7y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=0$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y$$

Gantikan -2y dengan x dalam persamaan lain, 5x+7y=3.

$$5\left(-2\right)y+7y=3$$

Darabkan 5 kali -2y.

$$-10y+7y=3$$

Tambahkan -10y pada 7y.

$$-3y=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-2y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\left(-1\right)$$

Darabkan -2 kali -1.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=0,5x+7y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-2\times 5}&-\frac{2}{7-2\times 5}\\-\frac{5}{7-2\times 5}&\frac{1}{7-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 3\\-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=0,5x+7y=3$$

Untuk menjadikan x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$5x+5\times 2y=0,5x+7y=3$$

Permudahkan.

$$5x+10y=0,5x+7y=3$$

Tolak 5x+7y=3 daripada 5x+10y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-5x+10y-7y=-3$$

Tambahkan 5x pada -5x. Seubtan 5x dan -5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10y-7y=-3$$

Tambahkan 10y pada -7y.

$$3y=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 5x+7y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+7\left(-1\right)=3$$

Darabkan 7 kali -1.

$$5x-7=3$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-1$$