Selesaikan {l}{x+2y=-2}{4y=1-3x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 2 } \\ { 4 y = 1 - 3 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$4y+3x=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=-2$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y-2$$

Gantikan -2y-2 dengan x dalam persamaan lain, 3x+4y=1.

$$3\left(-2y-2\right)+4y=1$$

Darabkan 3 kali -2y-2.

$$-6y-6+4y=1$$

Tambahkan -6y pada 4y.

$$-2y-6=1$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Gantikan -\frac{7}{2} dengan y dalam x=-2y-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\left(-\frac{7}{2}\right)-2$$

Darabkan -2 kali -\frac{7}{2}.

$$x=7-2$$

Tambahkan -2 pada 7.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$4y+3x=1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 3}&-\frac{2}{4-2\times 3}\\-\frac{3}{4-2\times 3}&\frac{1}{4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)+1\\\frac{3}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$4y+3x=1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

Untuk menjadikan x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x+3\times 2y=3\left(-2\right),3x+4y=1$$

Permudahkan.

$$3x+6y=-6,3x+4y=1$$

Tolak 3x+4y=1 daripada 3x+6y=-6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+6y-4y=-6-1$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y-4y=-6-1$$

Tambahkan 6y pada -4y.

$$2y=-6-1$$

Tambahkan -6 pada -1.

$$2y=-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Gantikan -\frac{7}{2} dengan y dalam 3x+4y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+4\left(-\frac{7}{2}\right)=1$$

Darabkan 4 kali -\frac{7}{2}.

$$3x-14=1$$

Tambahkan 14 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$