Selesaikan {l}{x+2y=-18}{3x-y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 18 } \\ { 3 x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{20}{7} = -2\frac{6}{7} \approx -2.857142857$$

$$y = -\frac{53}{7} = -7\frac{4}{7} \approx -7.571428571$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=-18,3x-y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=-18$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y-18$$

Gantikan -2y-18 dengan x dalam persamaan lain, 3x-y=-1.

$$3\left(-2y-18\right)-y=-1$$

Darabkan 3 kali -2y-18.

$$-6y-54-y=-1$$

Tambahkan -6y pada -y.

$$-7y-54=-1$$

Tambahkan 54 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-7y=53$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=-\frac{53}{7}$$

Gantikan -\frac{53}{7} dengan y dalam x=-2y-18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\left(-\frac{53}{7}\right)-18$$

Darabkan -2 kali -\frac{53}{7}.

$$x=\frac{106}{7}-18$$

Tambahkan -18 pada \frac{106}{7}.

$$x=-\frac{20}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{20}{7},y=-\frac{53}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=-18,3x-y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-18\right)+\frac{2}{7}\left(-1\right)\\\frac{3}{7}\left(-18\right)-\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{7}\\-\frac{53}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{20}{7},y=-\frac{53}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=-18,3x-y=-1$$

Untuk menjadikan x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x+3\times 2y=3\left(-18\right),3x-y=-1$$

Permudahkan.

$$3x+6y=-54,3x-y=-1$$

Tolak 3x-y=-1 daripada 3x+6y=-54 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+6y+y=-54+1$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y+y=-54+1$$

Tambahkan 6y pada y.

$$7y=-54+1$$

Tambahkan -54 pada 1.

$$7y=-53$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=-\frac{53}{7}$$

Gantikan -\frac{53}{7} dengan y dalam 3x-y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-\left(-\frac{53}{7}\right)=-1$$

Tolak \frac{53}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-\frac{60}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-\frac{20}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{20}{7},y=-\frac{53}{7}$$