Selesaikan {l}{x+2y=-12}{3x-y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 12 } \\ { 3 x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=-5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=-12,3x-y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=-12$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y-12$$

Gantikan -2y-12 dengan x dalam persamaan lain, 3x-y=-1.

$$3\left(-2y-12\right)-y=-1$$

Darabkan 3 kali -2y-12.

$$-6y-36-y=-1$$

Tambahkan -6y pada -y.

$$-7y-36=-1$$

Tambahkan 36 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-7y=35$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=-5$$

Gantikan -5 dengan y dalam x=-2y-12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\left(-5\right)-12$$

Darabkan -2 kali -5.

$$x=10-12$$

Tambahkan -12 pada 10.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=-5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=-12,3x-y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\left(-1\right)\\\frac{3}{7}\left(-12\right)-\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=-5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=-12,3x-y=-1$$

Untuk menjadikan x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x+3\times 2y=3\left(-12\right),3x-y=-1$$

Permudahkan.

$$3x+6y=-36,3x-y=-1$$

Tolak 3x-y=-1 daripada 3x+6y=-36 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+6y+y=-36+1$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y+y=-36+1$$

Tambahkan 6y pada y.

$$7y=-36+1$$

Tambahkan -36 pada 1.

$$7y=-35$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=-5$$

Gantikan -5 dengan y dalam 3x-y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-\left(-5\right)=-1$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=-5$$