Selesaikan {l}{rx-ry=1}{rx-9y=r}

$$\left\{ \begin{array} { l } { r x - r y = 1 } \\ { r x - 9 y = r } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

$$y=-\frac{1-r}{r-9}$$

$$r\neq 9\text{ and }r\neq 0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$rx+\left(-r\right)y=1$$

Tambahkan ry pada kedua-dua belah persamaan.

$$rx=ry+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan r.

$$x=\frac{1}{r}\left(ry+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{r} kali ry+1.

$$x=y+\frac{1}{r}$$

Gantikan y+\frac{1}{r} dengan x dalam persamaan lain, rx-9y=r.

$$r\left(y+\frac{1}{r}\right)-9y=r$$

Darabkan r kali y+\frac{1}{r}.

$$ry+1-9y=r$$

Tambahkan ry pada -9y.

$$\left(r-9\right)y+1=r$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(r-9\right)y=r-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan r-9.

$$y=\frac{r-1}{r-9}$$

Gantikan \frac{r-1}{r-9} dengan y dalam x=y+\frac{1}{r}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{r-1}{r-9}+\frac{1}{r}$$

Tambahkan \frac{1}{r} pada \frac{r-1}{r-9}.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&-\frac{-r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\\-\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}&\frac{1}{r-9}\\-\frac{1}{r-9}&\frac{1}{r-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}+\frac{1}{r-9}r\\-\frac{1}{r-9}+\frac{1}{r-9}r\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}\\\frac{r-1}{r-9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Tolak rx-9y=r daripada rx+\left(-r\right)y=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$rx+\left(-r\right)x+\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Tambahkan rx pada -rx. Seubtan rx dan -rx saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Tambahkan -ry pada 9y.

$$\left(9-r\right)y=1-r$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -r+9.

$$y=\frac{1-r}{9-r}$$

Gantikan \frac{1-r}{-r+9} dengan y dalam rx-9y=r. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$rx-9\times \frac{1-r}{9-r}=r$$

Darabkan -9 kali \frac{1-r}{-r+9}.

$$rx-\frac{9\left(1-r\right)}{9-r}=r$$

Tambahkan \frac{9\left(1-r\right)}{-r+9} pada kedua-dua belah persamaan.

$$rx=-\frac{\left(r-3\right)\left(r+3\right)}{9-r}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan r.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)},y=\frac{1-r}{9-r}$$