Selesaikan {l}{m+n=5}{2m+3n=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { m + n = 5 } \\ { 2 m + 3 n = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk m, n

$$m=10$$

$$n=-5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$m+n=5,2m+3n=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk m dengan mengasingkan m di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$m+n=5$$

Tolak n daripada kedua-dua belah persamaan.

$$m=-n+5$$

Gantikan -n+5 dengan m dalam persamaan lain, 2m+3n=5.

$$2\left(-n+5\right)+3n=5$$

Darabkan 2 kali -n+5.

$$-2n+10+3n=5$$

Tambahkan -2n pada 3n.

$$n+10=5$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$n=-5$$

Gantikan -5 dengan n dalam m=-n+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m=-\left(-5\right)+5$$

Darabkan -1 kali -5.

$$m=5+5$$

Tambahkan 5 pada 5.

$$m=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=10,n=-5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$m+n=5,2m+3n=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 5-5\\-2\times 5+5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks m dan n.

$$m=10,n=-5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$m+n=5,2m+3n=5$$

Untuk menjadikan m dan 2m sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2m+2n=2\times 5,2m+3n=5$$

Permudahkan.

$$2m+2n=10,2m+3n=5$$

Tolak 2m+3n=5 daripada 2m+2n=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2m-2m+2n-3n=10-5$$

Tambahkan 2m pada -2m. Seubtan 2m dan -2m saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2n-3n=10-5$$

Tambahkan 2n pada -3n.

$$-n=10-5$$

Tambahkan 10 pada -5.

$$-n=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$n=-5$$

Gantikan -5 dengan n dalam 2m+3n=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$2m+3\left(-5\right)=5$$

Darabkan 3 kali -5.

$$2m-15=5$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2m=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$m=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=10,n=-5$$