Selesaikan {l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y (complex solution)

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq ib\text{ and }a\neq -ib$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Tambahkan by pada kedua-dua belah persamaan.

$$ax=by-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan a.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

Darabkan \frac{1}{a} kali by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Gantikan \frac{by-8}{a} dengan x dalam persamaan lain, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

Darabkan b kali \frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

Tambahkan \frac{b^{2}y}{a} pada ay.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

Tambahkan -\frac{8b}{a} pada 1.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Tolak \frac{a-8b}{a} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan a+\frac{b^{2}}{a}.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Gantikan \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} dengan y dalam x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

Darabkan \frac{b}{a} kali \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

Tambahkan -\frac{8}{a} pada \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Untuk menjadikan ax dan bx sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan b dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan a.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Permudahkan.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Tolak abx+a^{2}y+a=0 daripada abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Tambahkan bax pada -bax. Seubtan bax dan -bax saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Tambahkan -b^{2}y pada -a^{2}y.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Tolak 8b-a daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -b^{2}-a^{2}.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Gantikan -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} dengan y dalam bx+ay+1=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

Darabkan a kali -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

Tambahkan -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} pada 1.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Tolak \frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan b.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Tambahkan by pada kedua-dua belah persamaan.

$$ax=by-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan a.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

Darabkan \frac{1}{a} kali by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Gantikan \frac{by-8}{a} dengan x dalam persamaan lain, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

Darabkan b kali \frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

Tambahkan \frac{b^{2}y}{a} pada ay.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

Tambahkan -\frac{8b}{a} pada 1.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Tolak \frac{a-8b}{a} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan a+\frac{b^{2}}{a}.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Gantikan \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} dengan y dalam x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

Darabkan \frac{b}{a} kali \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

Tambahkan -\frac{8}{a} pada \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Untuk menjadikan ax dan bx sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan b dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan a.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Permudahkan.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Tolak abx+a^{2}y+a=0 daripada abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Tambahkan bax pada -bax. Seubtan bax dan -bax saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Tambahkan -b^{2}y pada -a^{2}y.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Tolak 8b-a daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -b^{2}-a^{2}.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Gantikan -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} dengan y dalam bx+ay+1=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

Darabkan a kali -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

Tambahkan -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} pada 1.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Tolak \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan b.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$