Selesaikan {l}{a+b=130}{-1.85a+1.4b=74}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + b = 130 } \\ { - 1.85 a + 1.4 b = 74 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a = \frac{432}{13} = 33\frac{3}{13} \approx 33.230769231$$

$$b = \frac{1258}{13} = 96\frac{10}{13} \approx 96.769230769$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$a+b=130,-1.85a+1.4b=74$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$a+b=130$$

Tolak b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$a=-b+130$$

Gantikan -b+130 dengan a dalam persamaan lain, -1.85a+1.4b=74.

$$-1.85\left(-b+130\right)+1.4b=74$$

Darabkan -1.85 kali -b+130.

$$1.85b-240.5+1.4b=74$$

Tambahkan \frac{37b}{20} pada \frac{7b}{5}.

$$3.25b-240.5=74$$

Tambahkan 240.5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3.25b=314.5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 3.25 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=\frac{1258}{13}$$

Gantikan \frac{1258}{13} dengan b dalam a=-b+130. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-\frac{1258}{13}+130$$

Tambahkan 130 pada -\frac{1258}{13}.

$$a=\frac{432}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{432}{13},b=\frac{1258}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$a+b=130,-1.85a+1.4b=74$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.4}{1.4-\left(-1.85\right)}&-\frac{1}{1.4-\left(-1.85\right)}\\-\frac{-1.85}{1.4-\left(-1.85\right)}&\frac{1}{1.4-\left(-1.85\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{65}&-\frac{4}{13}\\\frac{37}{65}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{65}\times 130-\frac{4}{13}\times 74\\\frac{37}{65}\times 130+\frac{4}{13}\times 74\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{432}{13}\\\frac{1258}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=\frac{432}{13},b=\frac{1258}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$a+b=130,-1.85a+1.4b=74$$

Untuk menjadikan a dan -\frac{37a}{20} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1.85 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-1.85a-1.85b=-1.85\times 130,-1.85a+1.4b=74$$

Permudahkan.

$$-1.85a-1.85b=-240.5,-1.85a+1.4b=74$$

Tolak -1.85a+1.4b=74 daripada -1.85a-1.85b=-240.5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-1.85a+1.85a-1.85b-1.4b=-240.5-74$$

Tambahkan -\frac{37a}{20} pada \frac{37a}{20}. Seubtan -\frac{37a}{20} dan \frac{37a}{20} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-1.85b-1.4b=-240.5-74$$

Tambahkan -\frac{37b}{20} pada -\frac{7b}{5}.

$$-3.25b=-240.5-74$$

Tambahkan -240.5 pada -74.

$$-3.25b=-314.5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -3.25 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=\frac{1258}{13}$$

Gantikan \frac{1258}{13} dengan b dalam -1.85a+1.4b=74. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$-1.85a+1.4\times \frac{1258}{13}=74$$

Darabkan 1.4 dengan \frac{1258}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$-1.85a+\frac{8806}{65}=74$$

Tolak \frac{8806}{65} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-1.85a=-\frac{3996}{65}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -1.85 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$a=\frac{432}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{432}{13},b=\frac{1258}{13}$$