Selesaikan {l}{a+4b=8}{3b=5-a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 4 b = 8 } \\ { 3 b = 5 - a } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=-4$$

$$b=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan a pada kedua-dua belah.

$$3b+a=5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$a+4b=8$$

Tolak 4b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$a=-4b+8$$

Gantikan -4b+8 dengan a dalam persamaan lain, a+3b=5.

$$-4b+8+3b=5$$

Tambahkan -4b pada 3b.

$$-b+8=5$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-b=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$b=3$$

Gantikan 3 dengan b dalam a=-4b+8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-4\times 3+8$$

Darabkan -4 kali 3.

$$a=-12+8$$

Tambahkan 8 pada -12.

$$a=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-4,b=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan a pada kedua-dua belah.

$$3b+a=5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{1}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 8+4\times 5\\8-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=-4,b=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan a pada kedua-dua belah.

$$3b+a=5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

Tolak a+3b=5 daripada a+4b=8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$a-a+4b-3b=8-5$$

Tambahkan a pada -a. Seubtan a dan -a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4b-3b=8-5$$

Tambahkan 4b pada -3b.

$$b=8-5$$

Tambahkan 8 pada -5.

$$b=3$$

Gantikan 3 dengan b dalam a+3b=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a+3\times 3=5$$

Darabkan 3 kali 3.

$$a+9=5$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$a=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-4,b=3$$