Selesaikan {l}{a+3b=30}{3a+5b=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 3 b = 30 } \\ { 3 a + 5 b = 30 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=-15$$

$$b=15$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$a+3b=30,3a+5b=30$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$a+3b=30$$

Tolak 3b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$a=-3b+30$$

Gantikan -3b+30 dengan a dalam persamaan lain, 3a+5b=30.

$$3\left(-3b+30\right)+5b=30$$

Darabkan 3 kali -3b+30.

$$-9b+90+5b=30$$

Tambahkan -9b pada 5b.

$$-4b+90=30$$

Tolak 90 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4b=-60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$b=15$$

Gantikan 15 dengan b dalam a=-3b+30. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-3\times 15+30$$

Darabkan -3 kali 15.

$$a=-45+30$$

Tambahkan 30 pada -45.

$$a=-15$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-15,b=15$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$a+3b=30,3a+5b=30$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\30\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\30\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-3\times 3}&-\frac{3}{5-3\times 3}\\-\frac{3}{5-3\times 3}&\frac{1}{5-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\30\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}&\frac{3}{4}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\times 30+\frac{3}{4}\times 30\\\frac{3}{4}\times 30-\frac{1}{4}\times 30\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\15\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=-15,b=15$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$a+3b=30,3a+5b=30$$

Untuk menjadikan a dan 3a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3a+3\times 3b=3\times 30,3a+5b=30$$

Permudahkan.

$$3a+9b=90,3a+5b=30$$

Tolak 3a+5b=30 daripada 3a+9b=90 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3a-3a+9b-5b=90-30$$

Tambahkan 3a pada -3a. Seubtan 3a dan -3a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9b-5b=90-30$$

Tambahkan 9b pada -5b.

$$4b=90-30$$

Tambahkan 90 pada -30.

$$4b=60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$b=15$$

Gantikan 15 dengan b dalam 3a+5b=30. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$3a+5\times 15=30$$

Darabkan 5 kali 15.

$$3a+75=30$$

Tolak 75 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3a=-45$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$a=-15$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-15,b=15$$