Selesaikan {l}{9x-4y=8}{6x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 8 } \\ { 6 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$9x-4y=8$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=4y+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{9} kali 8+4y.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}$$

Gantikan \frac{8+4y}{9} dengan x dalam persamaan lain, 6x-2y=3.

$$6\left(\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}\right)-2y=3$$

Darabkan 6 kali \frac{8+4y}{9}.

$$\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}-2y=3$$

Tambahkan \frac{8y}{3} pada -2y.

$$\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}=3$$

Tolak \frac{16}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{2}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{2}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Gantikan -\frac{7}{2} dengan y dalam x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{4}{9}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{8}{9}$$

Darabkan \frac{4}{9} dengan -\frac{7}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{-14+8}{9}$$

Tambahkan \frac{8}{9} pada -\frac{14}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{9}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 8+\frac{2}{3}\times 3\\-8+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Untuk menjadikan 9x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 9.

$$6\times 9x+6\left(-4\right)y=6\times 8,9\times 6x+9\left(-2\right)y=9\times 3$$

Permudahkan.

$$54x-24y=48,54x-18y=27$$

Tolak 54x-18y=27 daripada 54x-24y=48 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$54x-54x-24y+18y=48-27$$

Tambahkan 54x pada -54x. Seubtan 54x dan -54x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-24y+18y=48-27$$

Tambahkan -24y pada 18y.

$$-6y=48-27$$

Tambahkan 48 pada -27.

$$-6y=21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Gantikan -\frac{7}{2} dengan y dalam 6x-2y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x-2\left(-\frac{7}{2}\right)=3$$

Darabkan -2 kali -\frac{7}{2}.

$$6x+7=3$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$