Selesaikan {l}{9x+2y=62}{4x+4y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 4 y = 36 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{44}{7} = 6\frac{2}{7} \approx 6.285714286$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$9x+2y=62$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=-2y+62$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

Darabkan \frac{1}{9} kali -2y+62.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

Gantikan \frac{-2y+62}{9} dengan x dalam persamaan lain, 4x+4y=36.

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+4y=36$$

Darabkan 4 kali \frac{-2y+62}{9}.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+4y=36$$

Tambahkan -\frac{8y}{9} pada 4y.

$$\frac{28}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

Tolak \frac{248}{9} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{28}{9}y=\frac{76}{9}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{28}{9} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{19}{7}$$

Gantikan \frac{19}{7} dengan y dalam x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{19}{7}+\frac{62}{9}$$

Darabkan -\frac{2}{9} dengan \frac{19}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{38}{63}+\frac{62}{9}$$

Tambahkan \frac{62}{9} pada -\frac{38}{63} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{44}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 4-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&\frac{9}{9\times 4-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{9}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 62-\frac{1}{14}\times 36\\-\frac{1}{7}\times 62+\frac{9}{28}\times 36\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

Untuk menjadikan 9x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 9.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 4y=9\times 36$$

Permudahkan.

$$36x+8y=248,36x+36y=324$$

Tolak 36x+36y=324 daripada 36x+8y=248 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$36x-36x+8y-36y=248-324$$

Tambahkan 36x pada -36x. Seubtan 36x dan -36x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y-36y=248-324$$

Tambahkan 8y pada -36y.

$$-28y=248-324$$

Tambahkan 248 pada -324.

$$-28y=-76$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -28.

$$y=\frac{19}{7}$$

Gantikan \frac{19}{7} dengan y dalam 4x+4y=36. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+4\times \frac{19}{7}=36$$

Darabkan 4 kali \frac{19}{7}.

$$4x+\frac{76}{7}=36$$

Tolak \frac{76}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{176}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{44}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$