Selesaikan {l}{9x+2y=62}{4x+3y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 3 y = 36 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=6$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$9x+2y=62$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=-2y+62$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

Darabkan \frac{1}{9} kali -2y+62.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

Gantikan \frac{-2y+62}{9} dengan x dalam persamaan lain, 4x+3y=36.

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+3y=36$$

Darabkan 4 kali \frac{-2y+62}{9}.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+3y=36$$

Tambahkan -\frac{8y}{9} pada 3y.

$$\frac{19}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

Tolak \frac{248}{9} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{19}{9}y=\frac{76}{9}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{19}{9} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{9}\times 4+\frac{62}{9}$$

Darabkan -\frac{2}{9} kali 4.

$$x=\frac{-8+62}{9}$$

Tambahkan \frac{62}{9} pada -\frac{8}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 3-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 3-2\times 4}&\frac{9}{9\times 3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{9}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 62-\frac{2}{19}\times 36\\-\frac{4}{19}\times 62+\frac{9}{19}\times 36\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=6,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

Untuk menjadikan 9x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 9.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 3y=9\times 36$$

Permudahkan.

$$36x+8y=248,36x+27y=324$$

Tolak 36x+27y=324 daripada 36x+8y=248 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$36x-36x+8y-27y=248-324$$

Tambahkan 36x pada -36x. Seubtan 36x dan -36x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y-27y=248-324$$

Tambahkan 8y pada -27y.

$$-19y=248-324$$

Tambahkan 248 pada -324.

$$-19y=-76$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -19.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 4x+3y=36. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+3\times 4=36$$

Darabkan 3 kali 4.

$$4x+12=36$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=4$$