Selesaikan {l}{9m-2n=3}{4n+m=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 2 n = 3 } \\ { 4 n + m = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk m, n

$$m=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

$$n=-\frac{6}{19}\approx -0.315789474$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk m dengan mengasingkan m di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$9m-2n=3$$

Tambahkan 2n pada kedua-dua belah persamaan.

$$9m=2n+3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$m=\frac{1}{9}\left(2n+3\right)$$

Darabkan \frac{1}{9} kali 2n+3.

$$m=\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{2n}{9}+\frac{1}{3} dengan m dalam persamaan lain, m+4n=-1.

$$\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}+4n=-1$$

Tambahkan \frac{2n}{9} pada 4n.

$$\frac{38}{9}n+\frac{1}{3}=-1$$

Tolak \frac{1}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{38}{9}n=-\frac{4}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{38}{9} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$n=-\frac{6}{19}$$

Gantikan -\frac{6}{19} dengan n dalam m=\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m=\frac{2}{9}\left(-\frac{6}{19}\right)+\frac{1}{3}$$

Darabkan \frac{2}{9} dengan -\frac{6}{19} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$m=-\frac{4}{57}+\frac{1}{3}$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada -\frac{4}{57} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$m=\frac{5}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{9\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{9\times 4-\left(-2\right)}&\frac{9}{9\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{1}{38}&\frac{9}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 3+\frac{1}{19}\left(-1\right)\\-\frac{1}{38}\times 3+\frac{9}{38}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\\-\frac{6}{19}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks m dan n.

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

Untuk menjadikan 9m dan m sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 9.

$$9m-2n=3,9m+9\times 4n=9\left(-1\right)$$

Permudahkan.

$$9m-2n=3,9m+36n=-9$$

Tolak 9m+36n=-9 daripada 9m-2n=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$9m-9m-2n-36n=3+9$$

Tambahkan 9m pada -9m. Seubtan 9m dan -9m saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2n-36n=3+9$$

Tambahkan -2n pada -36n.

$$-38n=3+9$$

Tambahkan 3 pada 9.

$$-38n=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -38.

$$n=-\frac{6}{19}$$

Gantikan -\frac{6}{19} dengan n dalam m+4n=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m+4\left(-\frac{6}{19}\right)=-1$$

Darabkan 4 kali -\frac{6}{19}.

$$m-\frac{24}{19}=-1$$

Tambahkan \frac{24}{19} pada kedua-dua belah persamaan.

$$m=\frac{5}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$