Selesaikan {l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk m, n

$$m=1$$

$$n=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk m dengan mengasingkan m di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$9m-13n=22$$

Tambahkan 13n pada kedua-dua belah persamaan.

$$9m=13n+22$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

Darabkan \frac{1}{9} kali 13n+22.

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

Gantikan \frac{13n+22}{9} dengan m dalam persamaan lain, 2m+3n=-1.

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

Darabkan 2 kali \frac{13n+22}{9}.

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

Tambahkan \frac{26n}{9} pada 3n.

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

Tolak \frac{44}{9} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{53}{9} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$n=-1$$

Gantikan -1 dengan n dalam m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

Darabkan \frac{13}{9} kali -1.

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

Tambahkan \frac{22}{9} pada -\frac{13}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$m=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=1,n=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks m dan n.

$$m=1,n=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Untuk menjadikan 9m dan 2m sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 9.

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

Permudahkan.

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

Tolak 18m+27n=-9 daripada 18m-26n=44 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

Tambahkan 18m pada -18m. Seubtan 18m dan -18m saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-26n-27n=44+9$$

Tambahkan -26n pada -27n.

$$-53n=44+9$$

Tambahkan 44 pada 9.

$$-53n=53$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -53.

$$n=-1$$

Gantikan -1 dengan n dalam 2m+3n=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

Darabkan 3 kali -1.

$$2m-3=-1$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2m=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$m=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=1,n=-1$$