Selesaikan {l}{8x-4y=2}{2x+3y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x - 4 y = 2 } \\ { 2 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{15}{16}=0.9375$$

$$y = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$8x-4y=2$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=4y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(4y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{8} kali 4y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}$$

Gantikan \frac{y}{2}+\frac{1}{4} dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=6.

$$2\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}\right)+3y=6$$

Darabkan 2 kali \frac{y}{2}+\frac{1}{4}.

$$y+\frac{1}{2}+3y=6$$

Tambahkan y pada 3y.

$$4y+\frac{1}{2}=6$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=\frac{11}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=\frac{11}{8}$$

Gantikan \frac{11}{8} dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{11}{8}+\frac{1}{4}$$

Darabkan \frac{1}{2} dengan \frac{11}{8} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{11}{16}+\frac{1}{4}$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada \frac{11}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{15}{16}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}\times 2+\frac{1}{8}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 2+\frac{1}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{16}\\\frac{11}{8}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

Untuk menjadikan 8x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 8.

$$2\times 8x+2\left(-4\right)y=2\times 2,8\times 2x+8\times 3y=8\times 6$$

Permudahkan.

$$16x-8y=4,16x+24y=48$$

Tolak 16x+24y=48 daripada 16x-8y=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$16x-16x-8y-24y=4-48$$

Tambahkan 16x pada -16x. Seubtan 16x dan -16x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y-24y=4-48$$

Tambahkan -8y pada -24y.

$$-32y=4-48$$

Tambahkan 4 pada -48.

$$-32y=-44$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -32.

$$y=\frac{11}{8}$$

Gantikan \frac{11}{8} dengan y dalam 2x+3y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+3\times \frac{11}{8}=6$$

Darabkan 3 kali \frac{11}{8}.

$$2x+\frac{33}{8}=6$$

Tolak \frac{33}{8} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{15}{8}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{15}{16}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$