Selesaikan {l}{8x+3y=25}{2x+3y=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 25 } \\ { 2 x + 3 y = 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$8x+3y=25$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=-3y+25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+25\right)$$

Darabkan \frac{1}{8} kali -3y+25.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}$$

Gantikan \frac{-3y+25}{8} dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=13.

$$2\left(-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}\right)+3y=13$$

Darabkan 2 kali \frac{-3y+25}{8}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}+3y=13$$

Tambahkan -\frac{3y}{4} pada 3y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{25}{4}=13$$

Tolak \frac{25}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{9}{4}y=\frac{27}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{9}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{8}\times 3+\frac{25}{8}$$

Darabkan -\frac{3}{8} kali 3.

$$x=\frac{-9+25}{8}$$

Tambahkan \frac{25}{8} pada -\frac{9}{8} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-3\times 2}&-\frac{3}{8\times 3-3\times 2}\\-\frac{2}{8\times 3-3\times 2}&\frac{8}{8\times 3-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25-\frac{1}{6}\times 13\\-\frac{1}{9}\times 25+\frac{4}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

Tolak 2x+3y=13 daripada 8x+3y=25 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-2x+3y-3y=25-13$$

Tambahkan 3y pada -3y. Seubtan 3y dan -3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8x-2x=25-13$$

Tambahkan 8x pada -2x.

$$6x=25-13$$

Tambahkan 25 pada -13.

$$6x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam 2x+3y=13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2\times 2+3y=13$$

Darabkan 2 kali 2.

$$4+3y=13$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$