Selesaikan {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$8x+2y=46$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=-2y+46$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Darabkan \frac{1}{8} kali -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Gantikan \frac{-y+23}{4} dengan x dalam persamaan lain, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Darabkan 7 kali \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Tambahkan -\frac{7y}{4} pada 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Tolak \frac{161}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{27}{5}$$

Gantikan \frac{27}{5} dengan y dalam x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Darabkan -\frac{1}{4} dengan \frac{27}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Tambahkan \frac{23}{4} pada -\frac{27}{20} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{22}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Untuk menjadikan 8x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Permudahkan.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Tolak 56x+24y=376 daripada 56x+14y=322 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Tambahkan 56x pada -56x. Seubtan 56x dan -56x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$14y-24y=322-376$$

Tambahkan 14y pada -24y.

$$-10y=322-376$$

Tambahkan 322 pada -376.

$$-10y=-54$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Gantikan \frac{27}{5} dengan y dalam 7x+3y=47. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Darabkan 3 kali \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Tolak \frac{81}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$