Selesaikan {l}{8k+a=3650}{15k+a=150}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk k, a

$$k=-500$$

$$a=7650$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk k dengan mengasingkan k di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$8k+a=3650$$

Tolak a daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8k=-a+3650$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

Darabkan \frac{1}{8} kali -a+3650.

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

Gantikan -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} dengan k dalam persamaan lain, 15k+a=150.

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

Darabkan 15 kali -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}.

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

Tambahkan -\frac{15a}{8} pada a.

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

Tolak \frac{27375}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{8} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$a=7650$$

Gantikan 7650 dengan a dalam k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk k.

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

Darabkan -\frac{1}{8} kali 7650.

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

Tambahkan \frac{1825}{4} pada -\frac{3825}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$k=-500$$

Sistem kini diselesaikan.

$$k=-500,a=7650$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks k dan a.

$$k=-500,a=7650$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Tolak 15k+a=150 daripada 8k+a=3650 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

Tambahkan a pada -a. Seubtan a dan -a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8k-15k=3650-150$$

Tambahkan 8k pada -15k.

$$-7k=3650-150$$

Tambahkan 3650 pada -150.

$$-7k=3500$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$k=-500$$

Gantikan -500 dengan k dalam 15k+a=150. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$15\left(-500\right)+a=150$$

Darabkan 15 kali -500.

$$-7500+a=150$$

Tambahkan 7500 pada kedua-dua belah persamaan.

$$a=7650$$

Sistem kini diselesaikan.

$$k=-500,a=7650$$