Selesaikan {l}{78x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \approx -6.666666667$$

$$y=45$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$78x+40y=1280$$

Tolak 40y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$78x=-40y+1280$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 78.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

Darabkan \frac{1}{78} kali -40y+1280.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

Gantikan \frac{-20y+640}{39} dengan x dalam persamaan lain, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800$$

Darabkan 120 kali \frac{-20y+640}{39}.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800$$

Tambahkan -\frac{800y}{13} pada 80y.

$$\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

Tolak \frac{25600}{13} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{240}{13} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=45$$

Gantikan 45 dengan y dalam x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}$$

Darabkan -\frac{20}{39} kali 45.

$$x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}$$

Tambahkan \frac{640}{39} pada -\frac{300}{13} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{20}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Untuk menjadikan 78x dan 120x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 120 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 78.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800$$

Permudahkan.

$$9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400$$

Tolak 9360x+6240y=218400 daripada 9360x+4800y=153600 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400$$

Tambahkan 9360x pada -9360x. Seubtan 9360x dan -9360x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4800y-6240y=153600-218400$$

Tambahkan 4800y pada -6240y.

$$-1440y=153600-218400$$

Tambahkan 153600 pada -218400.

$$-1440y=-64800$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1440.

$$y=45$$

Gantikan 45 dengan y dalam 120x+80y=2800. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$120x+80\times 45=2800$$

Darabkan 80 kali 45.

$$120x+3600=2800$$

Tolak 3600 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$120x=-800$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 120.

$$x=-\frac{20}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$