Selesaikan {l}{7x-8y=9}{4x-13y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x - 13 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{197}{59} = 3\frac{20}{59} \approx 3.338983051$$

$$y = \frac{106}{59} = 1\frac{47}{59} \approx 1.796610169$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x-8y=9$$

Tambahkan 8y pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=8y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali 8y+9.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

Gantikan \frac{8y+9}{7} dengan x dalam persamaan lain, 4x-13y=-10.

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)-13y=-10$$

Darabkan 4 kali \frac{8y+9}{7}.

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}-13y=-10$$

Tambahkan \frac{32y}{7} pada -13y.

$$-\frac{59}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

Tolak \frac{36}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{59}{7}y=-\frac{106}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{59}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{106}{59}$$

Gantikan \frac{106}{59} dengan y dalam x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{106}{59}+\frac{9}{7}$$

Darabkan \frac{8}{7} dengan \frac{106}{59} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{848}{413}+\frac{9}{7}$$

Tambahkan \frac{9}{7} pada \frac{848}{413} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{197}{59}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}&-\frac{8}{59}\\\frac{4}{59}&-\frac{7}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}\times 9-\frac{8}{59}\left(-10\right)\\\frac{4}{59}\times 9-\frac{7}{59}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{197}{59}\\\frac{106}{59}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Untuk menjadikan 7x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\left(-13\right)y=7\left(-10\right)$$

Permudahkan.

$$28x-32y=36,28x-91y=-70$$

Tolak 28x-91y=-70 daripada 28x-32y=36 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$28x-28x-32y+91y=36+70$$

Tambahkan 28x pada -28x. Seubtan 28x dan -28x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-32y+91y=36+70$$

Tambahkan -32y pada 91y.

$$59y=36+70$$

Tambahkan 36 pada 70.

$$59y=106$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 59.

$$y=\frac{106}{59}$$

Gantikan \frac{106}{59} dengan y dalam 4x-13y=-10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-13\times \frac{106}{59}=-10$$

Darabkan -13 kali \frac{106}{59}.

$$4x-\frac{1378}{59}=-10$$

Tambahkan \frac{1378}{59} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{788}{59}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{197}{59}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$