Selesaikan {l}{7x+2y=24}{8x+2y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { 8 x + 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=6$$

$$y=-9$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x+2y=24$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-2y+24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali -2y+24.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

Gantikan \frac{-2y+24}{7} dengan x dalam persamaan lain, 8x+2y=30.

$$8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=30$$

Darabkan 8 kali \frac{-2y+24}{7}.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{192}{7}+2y=30$$

Tambahkan -\frac{16y}{7} pada 2y.

$$-\frac{2}{7}y+\frac{192}{7}=30$$

Tolak \frac{192}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{2}{7}y=\frac{18}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{2}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-9$$

Gantikan -9 dengan y dalam x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{24}{7}$$

Darabkan -\frac{2}{7} kali -9.

$$x=\frac{18+24}{7}$$

Tambahkan \frac{24}{7} pada \frac{18}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=-9$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\times 8}&-\frac{2}{7\times 2-2\times 8}\\-\frac{8}{7\times 2-2\times 8}&\frac{7}{7\times 2-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\4&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24+30\\4\times 24-\frac{7}{2}\times 30\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=6,y=-9$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Tolak 8x+2y=30 daripada 7x+2y=24 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$7x-8x+2y-2y=24-30$$

Tambahkan 2y pada -2y. Seubtan 2y dan -2y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7x-8x=24-30$$

Tambahkan 7x pada -8x.

$$-x=24-30$$

Tambahkan 24 pada -30.

$$-x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=6$$

Gantikan 6 dengan x dalam 8x+2y=30. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$8\times 6+2y=30$$

Darabkan 8 kali 6.

$$48+2y=30$$

Tolak 48 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=-9$$