Selesaikan {l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Tambahkan -6 dan 5 untuk dapatkan -1.

$$2x-1=y-1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$2x-1-y=-1$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah.

$$2x-y=-1+1$$

Tambahkan -1 dan 1 untuk dapatkan 0.

$$2x-y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x+18y=43$$

Tolak 18y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-18y+43$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali -18y+43.

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

Gantikan \frac{-18y+43}{7} dengan x dalam persamaan lain, 2x-y=0.

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

Darabkan 2 kali \frac{-18y+43}{7}.

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

Tambahkan -\frac{36y}{7} pada -y.

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

Tolak \frac{86}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{43}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

Darabkan -\frac{18}{7} kali 2.

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

Tambahkan \frac{43}{7} pada -\frac{36}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Tambahkan -6 dan 5 untuk dapatkan -1.

$$2x-1=y-1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$2x-1-y=-1$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah.

$$2x-y=-1+1$$

Tambahkan -1 dan 1 untuk dapatkan 0.

$$2x-y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Tambahkan -6 dan 5 untuk dapatkan -1.

$$2x-1=y-1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$2x-1-y=-1$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah.

$$2x-y=-1+1$$

Tambahkan -1 dan 1 untuk dapatkan 0.

$$2x-y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Untuk menjadikan 7x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

Permudahkan.

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

Tolak 14x-7y=0 daripada 14x+36y=86 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$14x-14x+36y+7y=86$$

Tambahkan 14x pada -14x. Seubtan 14x dan -14x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$36y+7y=86$$

Tambahkan 36y pada 7y.

$$43y=86$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 43.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 2x-y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-2=0$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$