Selesaikan {l}{7a-10b=-64}{5b+3a=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 a - 10 b = - 64 } \\ { 5 b + 3 a = 19 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=-2$$

$$b=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7a-10b=-64$$

Tambahkan 10b pada kedua-dua belah persamaan.

$$7a=10b-64$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$a=\frac{1}{7}\left(10b-64\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali 10b-64.

$$a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}$$

Gantikan \frac{10b-64}{7} dengan a dalam persamaan lain, 3a+5b=19.

$$3\left(\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}\right)+5b=19$$

Darabkan 3 kali \frac{10b-64}{7}.

$$\frac{30}{7}b-\frac{192}{7}+5b=19$$

Tambahkan \frac{30b}{7} pada 5b.

$$\frac{65}{7}b-\frac{192}{7}=19$$

Tambahkan \frac{192}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{65}{7}b=\frac{325}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{65}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=5$$

Gantikan 5 dengan b dalam a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=\frac{10}{7}\times 5-\frac{64}{7}$$

Darabkan \frac{10}{7} kali 5.

$$a=\frac{50-64}{7}$$

Tambahkan -\frac{64}{7} pada \frac{50}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-2,b=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&-\frac{-10}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{65}&\frac{7}{65}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-64\right)+\frac{2}{13}\times 19\\-\frac{3}{65}\left(-64\right)+\frac{7}{65}\times 19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=-2,b=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Untuk menjadikan 7a dan 3a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$3\times 7a+3\left(-10\right)b=3\left(-64\right),7\times 3a+7\times 5b=7\times 19$$

Permudahkan.

$$21a-30b=-192,21a+35b=133$$

Tolak 21a+35b=133 daripada 21a-30b=-192 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$21a-21a-30b-35b=-192-133$$

Tambahkan 21a pada -21a. Seubtan 21a dan -21a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-30b-35b=-192-133$$

Tambahkan -30b pada -35b.

$$-65b=-192-133$$

Tambahkan -192 pada -133.

$$-65b=-325$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -65.

$$b=5$$

Gantikan 5 dengan b dalam 3a+5b=19. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$3a+5\times 5=19$$

Darabkan 5 kali 5.

$$3a+25=19$$

Tolak 25 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3a=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$a=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-2,b=5$$