Selesaikan {l}{6x-5y=3}{3x+2y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = 3 } \\ { 3 x + 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{22}{9} = 2\frac{4}{9} \approx 2.444444444$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x-5y=3$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=5y+3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+3\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali 5y+3.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{5y}{6}+\frac{1}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=12.

$$3\left(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}\right)+2y=12$$

Darabkan 3 kali \frac{5y}{6}+\frac{1}{2}.

$$\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}+2y=12$$

Tambahkan \frac{5y}{2} pada 2y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}=12$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{9}{2}y=\frac{21}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{9}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{7}{3}$$

Gantikan \frac{7}{3} dengan y dalam x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{2}$$

Darabkan \frac{5}{6} dengan \frac{7}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada \frac{35}{18} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{22}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{5}{27}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 12\\-\frac{1}{9}\times 3+\frac{2}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{9}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

Untuk menjadikan 6x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\times 3,6\times 3x+6\times 2y=6\times 12$$

Permudahkan.

$$18x-15y=9,18x+12y=72$$

Tolak 18x+12y=72 daripada 18x-15y=9 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$18x-18x-15y-12y=9-72$$

Tambahkan 18x pada -18x. Seubtan 18x dan -18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15y-12y=9-72$$

Tambahkan -15y pada -12y.

$$-27y=9-72$$

Tambahkan 9 pada -72.

$$-27y=-63$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -27.

$$y=\frac{7}{3}$$

Gantikan \frac{7}{3} dengan y dalam 3x+2y=12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\times \frac{7}{3}=12$$

Darabkan 2 kali \frac{7}{3}.

$$3x+\frac{14}{3}=12$$

Tolak \frac{14}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{22}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{22}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$