Selesaikan {l}{6x-4y=30}{2x+6y=-34}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 4 y = 30 } \\ { 2 x + 6 y = - 34 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x-4y=30,2x+6y=-34$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x-4y=30$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=4y+30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(4y+30\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali 4y+30.

$$x=\frac{2}{3}y+5$$

Gantikan \frac{2y}{3}+5 dengan x dalam persamaan lain, 2x+6y=-34.

$$2\left(\frac{2}{3}y+5\right)+6y=-34$$

Darabkan 2 kali \frac{2y}{3}+5.

$$\frac{4}{3}y+10+6y=-34$$

Tambahkan \frac{4y}{3} pada 6y.

$$\frac{22}{3}y+10=-34$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{22}{3}y=-44$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{22}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam x=\frac{2}{3}y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{3}\left(-6\right)+5$$

Darabkan \frac{2}{3} kali -6.

$$x=-4+5$$

Tambahkan 5 pada -4.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x-4y=30,2x+6y=-34$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}&\frac{6}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 30+\frac{1}{11}\left(-34\right)\\-\frac{1}{22}\times 30+\frac{3}{22}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x-4y=30,2x+6y=-34$$

Untuk menjadikan 6x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$2\times 6x+2\left(-4\right)y=2\times 30,6\times 2x+6\times 6y=6\left(-34\right)$$

Permudahkan.

$$12x-8y=60,12x+36y=-204$$

Tolak 12x+36y=-204 daripada 12x-8y=60 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x-8y-36y=60+204$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y-36y=60+204$$

Tambahkan -8y pada -36y.

$$-44y=60+204$$

Tambahkan 60 pada 204.

$$-44y=264$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -44.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam 2x+6y=-34. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+6\left(-6\right)=-34$$

Darabkan 6 kali -6.

$$2x-36=-34$$

Tambahkan 36 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-6$$