Selesaikan {l}{6x-3y=12}{2x+2y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 3 y = 12 } \\ { 2 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x-3y=12,2x+2y=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x-3y=12$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=3y+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(3y+12\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali 12+3y.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Gantikan \frac{y}{2}+2 dengan x dalam persamaan lain, 2x+2y=10.

$$2\left(\frac{1}{2}y+2\right)+2y=10$$

Darabkan 2 kali \frac{y}{2}+2.

$$y+4+2y=10$$

Tambahkan y pada 2y.

$$3y+4=10$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\times 2+2$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 2.

$$x=1+2$$

Tambahkan 2 pada 1.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x-3y=12,2x+2y=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{9}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 12+\frac{1}{6}\times 10\\-\frac{1}{9}\times 12+\frac{1}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x-3y=12,2x+2y=10$$

Untuk menjadikan 6x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 12,6\times 2x+6\times 2y=6\times 10$$

Permudahkan.

$$12x-6y=24,12x+12y=60$$

Tolak 12x+12y=60 daripada 12x-6y=24 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x-6y-12y=24-60$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y-12y=24-60$$

Tambahkan -6y pada -12y.

$$-18y=24-60$$

Tambahkan 24 pada -60.

$$-18y=-36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -18.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 2x+2y=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+2\times 2=10$$

Darabkan 2 kali 2.

$$2x+4=10$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=2$$