Selesaikan {l}{6x-2y=4}{y=5x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 2 y = 4 } \\ { y = 5 x + 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{19}{2} = -9\frac{1}{2} = -9.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x-2y=4$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=2y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali 4+2y.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Gantikan \frac{2+y}{3} dengan x dalam persamaan lain, -5x+y=3.

$$-5\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y=3$$

Darabkan -5 kali \frac{2+y}{3}.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}+y=3$$

Tambahkan -\frac{5y}{3} pada y.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}=3$$

Tambahkan \frac{10}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{2}{3}y=\frac{19}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{2}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{19}{2}$$

Gantikan -\frac{19}{2} dengan y dalam x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{19}{2}\right)+\frac{2}{3}$$

Darabkan \frac{1}{3} dengan -\frac{19}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{19}{6}+\frac{2}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada -\frac{19}{6} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{5}{4}\times 4-\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{19}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

Untuk menjadikan 6x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$-5\times 6x-5\left(-2\right)y=-5\times 4,6\left(-5\right)x+6y=6\times 3$$

Permudahkan.

$$-30x+10y=-20,-30x+6y=18$$

Tolak -30x+6y=18 daripada -30x+10y=-20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-30x+30x+10y-6y=-20-18$$

Tambahkan -30x pada 30x. Seubtan -30x dan 30x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10y-6y=-20-18$$

Tambahkan 10y pada -6y.

$$4y=-20-18$$

Tambahkan -20 pada -18.

$$4y=-38$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-\frac{19}{2}$$

Gantikan -\frac{19}{2} dengan y dalam -5x+y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x-\frac{19}{2}=3$$

Tambahkan \frac{19}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=\frac{25}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$