Selesaikan {l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x-18y=-85$$

Tambahkan 18y pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=18y-85$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali 18y-85.

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

Gantikan 3y-\frac{85}{6} dengan x dalam persamaan lain, 24x-5y=-5.

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

Darabkan 24 kali 3y-\frac{85}{6}.

$$72y-340-5y=-5$$

Tambahkan 72y pada -5y.

$$67y-340=-5$$

Tambahkan 340 pada kedua-dua belah persamaan.

$$67y=335$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 67.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=3y-\frac{85}{6}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

Darabkan 3 kali 5.

$$x=15-\frac{85}{6}$$

Tambahkan -\frac{85}{6} pada 15.

$$x=\frac{5}{6}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Untuk menjadikan 6x dan 24x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 24 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

Permudahkan.

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

Tolak 144x-30y=-30 daripada 144x-432y=-2040 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

Tambahkan 144x pada -144x. Seubtan 144x dan -144x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-432y+30y=-2040+30$$

Tambahkan -432y pada 30y.

$$-402y=-2040+30$$

Tambahkan -2040 pada 30.

$$-402y=-2010$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -402.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam 24x-5y=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$24x-5\times 5=-5$$

Darabkan -5 kali 5.

$$24x-25=-5$$

Tambahkan 25 pada kedua-dua belah persamaan.

$$24x=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 24.

$$x=\frac{5}{6}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$