Selesaikan {l}{6x+6y=6}{6x+3y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 6 y = 6 } \\ { 6 x + 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+6y=6,6x+3y=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+6y=6$$

Tolak 6y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-6y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-6y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -6y+6.

$$x=-y+1$$

Gantikan -y+1 dengan x dalam persamaan lain, 6x+3y=-3.

$$6\left(-y+1\right)+3y=-3$$

Darabkan 6 kali -y+1.

$$-6y+6+3y=-3$$

Tambahkan -6y pada 3y.

$$-3y+6=-3$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3+1$$

Tambahkan 1 pada -3.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+6y=6,6x+3y=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-6\times 6}&-\frac{6}{6\times 3-6\times 6}\\-\frac{6}{6\times 3-6\times 6}&\frac{6}{6\times 3-6\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\times 6-\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+6y=6,6x+3y=-3$$

Tolak 6x+3y=-3 daripada 6x+6y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+6y-3y=6+3$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y-3y=6+3$$

Tambahkan 6y pada -3y.

$$3y=6+3$$

Tambahkan 6 pada 3.

$$3y=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 6x+3y=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x+3\times 3=-3$$

Darabkan 3 kali 3.

$$6x+9=-3$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=3$$