Selesaikan {l}{6x+5y=1}{x-y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 1 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+5y=1,x-y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+5y=1$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-5y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -5y+1.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{1}{6}$$

Gantikan \frac{-5y+1}{6} dengan x dalam persamaan lain, x-y=2.

$$-\frac{5}{6}y+\frac{1}{6}-y=2$$

Tambahkan -\frac{5y}{6} pada -y.

$$-\frac{11}{6}y+\frac{1}{6}=2$$

Tolak \frac{1}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{11}{6}y=\frac{11}{6}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{11}{6} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-\frac{5}{6}y+\frac{1}{6}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-1\right)+\frac{1}{6}$$

Darabkan -\frac{5}{6} kali -1.

$$x=\frac{5+1}{6}$$

Tambahkan \frac{1}{6} pada \frac{5}{6} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+5y=1,x-y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-5}&-\frac{5}{6\left(-1\right)-5}\\-\frac{1}{6\left(-1\right)-5}&\frac{6}{6\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}+\frac{5}{11}\times 2\\\frac{1}{11}-\frac{6}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+5y=1,x-y=2$$

Untuk menjadikan 6x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$6x+5y=1,6x+6\left(-1\right)y=6\times 2$$

Permudahkan.

$$6x+5y=1,6x-6y=12$$

Tolak 6x-6y=12 daripada 6x+5y=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+5y+6y=1-12$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5y+6y=1-12$$

Tambahkan 5y pada 6y.

$$11y=1-12$$

Tambahkan 1 pada -12.

$$11y=-11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x-y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\left(-1\right)=2$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$