Selesaikan {l}{6x+2y=300}{3x+5y=600}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 300 } \\ { 3 x + 5 y = 600 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

$$y = \frac{225}{2} = 112\frac{1}{2} = 112.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+2y=300$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-2y+300$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+300\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -2y+300.

$$x=-\frac{1}{3}y+50$$

Gantikan -\frac{y}{3}+50 dengan x dalam persamaan lain, 3x+5y=600.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+50\right)+5y=600$$

Darabkan 3 kali -\frac{y}{3}+50.

$$-y+150+5y=600$$

Tambahkan -y pada 5y.

$$4y+150=600$$

Tolak 150 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=450$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=\frac{225}{2}$$

Gantikan \frac{225}{2} dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+50. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{225}{2}+50$$

Darabkan -\frac{1}{3} dengan \frac{225}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{75}{2}+50$$

Tambahkan 50 pada -\frac{75}{2}.

$$x=\frac{25}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{6\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-2\times 3}&\frac{6}{6\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 300-\frac{1}{12}\times 600\\-\frac{1}{8}\times 300+\frac{1}{4}\times 600\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{2}\\\frac{225}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Untuk menjadikan 6x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\times 300,6\times 3x+6\times 5y=6\times 600$$

Permudahkan.

$$18x+6y=900,18x+30y=3600$$

Tolak 18x+30y=3600 daripada 18x+6y=900 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$18x-18x+6y-30y=900-3600$$

Tambahkan 18x pada -18x. Seubtan 18x dan -18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y-30y=900-3600$$

Tambahkan 6y pada -30y.

$$-24y=900-3600$$

Tambahkan 900 pada -3600.

$$-24y=-2700$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -24.

$$y=\frac{225}{2}$$

Gantikan \frac{225}{2} dengan y dalam 3x+5y=600. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+5\times \frac{225}{2}=600$$

Darabkan 5 kali \frac{225}{2}.

$$3x+\frac{1125}{2}=600$$

Tolak \frac{1125}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{75}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{25}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$