Selesaikan {l}{6x+15y=360}{8x+10y=440}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=50$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+15y=360$$

Tolak 15y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-15y+360$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -15y+360.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

Gantikan -\frac{5y}{2}+60 dengan x dalam persamaan lain, 8x+10y=440.

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

Darabkan 8 kali -\frac{5y}{2}+60.

$$-20y+480+10y=440$$

Tambahkan -20y pada 10y.

$$-10y+480=440$$

Tolak 480 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-10y=-40$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=-\frac{5}{2}y+60. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

Darabkan -\frac{5}{2} kali 4.

$$x=-10+60$$

Tambahkan 60 pada -10.

$$x=50$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=50,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=50,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Untuk menjadikan 6x dan 8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

Permudahkan.

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

Tolak 48x+60y=2640 daripada 48x+120y=2880 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

Tambahkan 48x pada -48x. Seubtan 48x dan -48x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$120y-60y=2880-2640$$

Tambahkan 120y pada -60y.

$$60y=2880-2640$$

Tambahkan 2880 pada -2640.

$$60y=240$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 60.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 8x+10y=440. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$8x+10\times 4=440$$

Darabkan 10 kali 4.

$$8x+40=440$$

Tolak 40 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=400$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=50$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=50,y=4$$