Selesaikan {l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk u, v

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk u dengan mengasingkan u di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6u+4v=5$$

Tolak 4v daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6u=-4v+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -4v+5.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

Gantikan -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} dengan u dalam persamaan lain, 9u-8v=4.

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

Darabkan 9 kali -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

Tambahkan -6v pada -8v.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

Tolak \frac{15}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -14.

$$v=\frac{1}{4}$$

Gantikan \frac{1}{4} dengan v dalam u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk u.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

Darabkan -\frac{2}{3} dengan \frac{1}{4} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

Tambahkan \frac{5}{6} pada -\frac{1}{6} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$u=\frac{2}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks u dan v.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Untuk menjadikan 6u dan 9u sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

Permudahkan.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

Tolak 54u-48v=24 daripada 54u+36v=45 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

Tambahkan 54u pada -54u. Seubtan 54u dan -54u saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$36v+48v=45-24$$

Tambahkan 36v pada 48v.

$$84v=45-24$$

Tambahkan 45 pada -24.

$$84v=21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 84.

$$v=\frac{1}{4}$$

Gantikan \frac{1}{4} dengan v dalam 9u-8v=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk u.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

Darabkan -8 kali \frac{1}{4}.

$$9u-2=4$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$9u=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$u=\frac{2}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$