Selesaikan {l}{6+2a+b=0}{24-4a+b=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 + 2 a + b = 0 } \\ { 24 - 4 a + b = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=3$$

$$b=-12$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2a+b+6=0$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2a+b=-6$$

Tolak b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2a=-b-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b-6\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -b-6.

$$a=-\frac{1}{2}b-3$$

Gantikan -\frac{b}{2}-3 dengan a dalam persamaan lain, -4a+b+24=0.

$$-4\left(-\frac{1}{2}b-3\right)+b+24=0$$

Darabkan -4 kali -\frac{b}{2}-3.

$$2b+12+b+24=0$$

Tambahkan 2b pada b.

$$3b+12+24=0$$

Tambahkan 12 pada 24.

$$3b+36=0$$

Tolak 36 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3b=-36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$b=-12$$

Gantikan -12 dengan b dalam a=-\frac{1}{2}b-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-12\right)-3$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -12.

$$a=6-3$$

Tambahkan -3 pada 6.

$$a=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=3,b=-12$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2-\left(-4\right)}&\frac{2}{2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)-\frac{1}{6}\left(-24\right)\\\frac{2}{3}\left(-6\right)+\frac{1}{3}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=3,b=-12$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

Tolak -4a+b+24=0 daripada 2a+b+6=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2a+4a+b-b+6-24=0$$

Tambahkan b pada -b. Seubtan b dan -b saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2a+4a+6-24=0$$

Tambahkan 2a pada 4a.

$$6a+6-24=0$$

Tambahkan 6 pada -24.

$$6a-18=0$$

Tambahkan 18 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6a=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$a=3$$

Gantikan 3 dengan a dalam -4a+b+24=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk b.

$$-4\times 3+b+24=0$$

Darabkan -4 kali 3.

$$-12+b+24=0$$

Tambahkan -12 pada 24.

$$b+12=0$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$b=-12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=3,b=-12$$