Selesaikan {l}{500=10k+b}{900=20k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 500 = 10 k + b } \\ { 900 = 20 k + b } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk k, b

$$k=40$$

$$b=100$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$10k+b=500$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$20k+b=900$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$10k+b=500,20k+b=900$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk k dengan mengasingkan k di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$10k+b=500$$

Tolak b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10k=-b+500$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$k=\frac{1}{10}\left(-b+500\right)$$

Darabkan \frac{1}{10} kali -b+500.

$$k=-\frac{1}{10}b+50$$

Gantikan -\frac{b}{10}+50 dengan k dalam persamaan lain, 20k+b=900.

$$20\left(-\frac{1}{10}b+50\right)+b=900$$

Darabkan 20 kali -\frac{b}{10}+50.

$$-2b+1000+b=900$$

Tambahkan -2b pada b.

$$-b+1000=900$$

Tolak 1000 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-b=-100$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$b=100$$

Gantikan 100 dengan b dalam k=-\frac{1}{10}b+50. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk k.

$$k=-\frac{1}{10}\times 100+50$$

Darabkan -\frac{1}{10} kali 100.

$$k=-10+50$$

Tambahkan 50 pada -10.

$$k=40$$

Sistem kini diselesaikan.

$$k=40,b=100$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$10k+b=500$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$20k+b=900$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$10k+b=500,20k+b=900$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-20}&-\frac{1}{10-20}\\-\frac{20}{10-20}&\frac{10}{10-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 500+\frac{1}{10}\times 900\\2\times 500-900\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\100\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks k dan b.

$$k=40,b=100$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$10k+b=500$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$20k+b=900$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$10k+b=500,20k+b=900$$

Tolak 20k+b=900 daripada 10k+b=500 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10k-20k+b-b=500-900$$

Tambahkan b pada -b. Seubtan b dan -b saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10k-20k=500-900$$

Tambahkan 10k pada -20k.

$$-10k=500-900$$

Tambahkan 500 pada -900.

$$-10k=-400$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$k=40$$

Gantikan 40 dengan k dalam 20k+b=900. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk b.

$$20\times 40+b=900$$

Darabkan 20 kali 40.

$$800+b=900$$

Tolak 800 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$b=100$$

Sistem kini diselesaikan.

$$k=40,b=100$$