Selesaikan {l}{50x+y=200}{60x+y=260}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x + y = 200 } \\ { 60 x + y = 260 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=6$$

$$y=-100$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$50x+y=200$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$50x=-y+200$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 50.

$$x=\frac{1}{50}\left(-y+200\right)$$

Darabkan \frac{1}{50} kali -y+200.

$$x=-\frac{1}{50}y+4$$

Gantikan -\frac{y}{50}+4 dengan x dalam persamaan lain, 60x+y=260.

$$60\left(-\frac{1}{50}y+4\right)+y=260$$

Darabkan 60 kali -\frac{y}{50}+4.

$$-\frac{6}{5}y+240+y=260$$

Tambahkan -\frac{6y}{5} pada y.

$$-\frac{1}{5}y+240=260$$

Tolak 240 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{5}y=20$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=-100$$

Gantikan -100 dengan y dalam x=-\frac{1}{50}y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{50}\left(-100\right)+4$$

Darabkan -\frac{1}{50} kali -100.

$$x=2+4$$

Tambahkan 4 pada 2.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=-100$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-60}&-\frac{1}{50-60}\\-\frac{60}{50-60}&\frac{50}{50-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 200+\frac{1}{10}\times 260\\6\times 200-5\times 260\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-100\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=6,y=-100$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Tolak 60x+y=260 daripada 50x+y=200 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$50x-60x+y-y=200-260$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$50x-60x=200-260$$

Tambahkan 50x pada -60x.

$$-10x=200-260$$

Tambahkan 200 pada -260.

$$-10x=-60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$x=6$$

Gantikan 6 dengan x dalam 60x+y=260. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$60\times 6+y=260$$

Darabkan 60 kali 6.

$$360+y=260$$

Tolak 360 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-100$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=-100$$