Selesaikan {l}{5y+2y=3x-2y/4}{y+4x/3=1-2y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y + 2 y = \frac { 3 x - 2 y } { 4 } } \\ { \frac { y + 4 x } { 3 } = 1 - 2 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=\frac{30}{47}\approx 0.638297872$$

$$y=\frac{3}{47}\approx 0.063829787$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4.

$$20y+8y=3x-2y$$

Gabungkan 20y dan 8y untuk mendapatkan 28y.

$$28y=3x-2y$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$28y-3x=-2y$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah.

$$28y-3x+2y=0$$

Gabungkan 28y dan 2y untuk mendapatkan 30y.

$$30y-3x=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$y+4x=3-6y$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah.

$$y+4x+6y=3$$

Gabungkan y dan 6y untuk mendapatkan 7y.

$$7y+4x=3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$30y-3x=0,7y+4x=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$30y-3x=0$$

Tambahkan 3x pada kedua-dua belah persamaan.

$$30y=3x$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 30.

$$y=\frac{1}{30}\times 3x$$

Darabkan \frac{1}{30} kali 3x.

$$y=\frac{1}{10}x$$

Gantikan \frac{x}{10} dengan y dalam persamaan lain, 7y+4x=3.

$$7\times \frac{1}{10}x+4x=3$$

Darabkan 7 kali \frac{x}{10}.

$$\frac{7}{10}x+4x=3$$

Tambahkan \frac{7x}{10} pada 4x.

$$\frac{47}{10}x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{47}{10} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{30}{47}$$

Gantikan \frac{30}{47} dengan x dalam y=\frac{1}{10}x. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{1}{10}\times \frac{30}{47}$$

Darabkan \frac{1}{10} dengan \frac{30}{47} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{3}{47}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{3}{47},x=\frac{30}{47}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4.

$$20y+8y=3x-2y$$

Gabungkan 20y dan 8y untuk mendapatkan 28y.

$$28y=3x-2y$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$28y-3x=-2y$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah.

$$28y-3x+2y=0$$

Gabungkan 28y dan 2y untuk mendapatkan 30y.

$$30y-3x=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$y+4x=3-6y$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah.

$$y+4x+6y=3$$

Gabungkan y dan 6y untuk mendapatkan 7y.

$$7y+4x=3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$30y-3x=0,7y+4x=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}&\frac{30}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{141}&\frac{1}{47}\\-\frac{7}{141}&\frac{10}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}\times 3\\\frac{10}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{47}\\\frac{30}{47}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{3}{47},x=\frac{30}{47}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4.

$$20y+8y=3x-2y$$

Gabungkan 20y dan 8y untuk mendapatkan 28y.

$$28y=3x-2y$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$28y-3x=-2y$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah.

$$28y-3x+2y=0$$

Gabungkan 28y dan 2y untuk mendapatkan 30y.

$$30y-3x=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$y+4x=3-6y$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah.

$$y+4x+6y=3$$

Gabungkan y dan 6y untuk mendapatkan 7y.

$$7y+4x=3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$30y-3x=0,7y+4x=3$$

Untuk menjadikan 30y dan 7y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 30.

$$7\times 30y+7\left(-3\right)x=0,30\times 7y+30\times 4x=30\times 3$$

Permudahkan.

$$210y-21x=0,210y+120x=90$$

Tolak 210y+120x=90 daripada 210y-21x=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$210y-210y-21x-120x=-90$$

Tambahkan 210y pada -210y. Seubtan 210y dan -210y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-21x-120x=-90$$

Tambahkan -21x pada -120x.

$$-141x=-90$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -141.

$$x=\frac{30}{47}$$

Gantikan \frac{30}{47} dengan x dalam 7y+4x=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$7y+4\times \frac{30}{47}=3$$

Darabkan 4 kali \frac{30}{47}.

$$7y+\frac{120}{47}=3$$

Tolak \frac{120}{47} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7y=\frac{21}{47}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=\frac{3}{47}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{3}{47},x=\frac{30}{47}$$