Selesaikan {l}{5y+2x=5}{y+2x=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y + 2 x = 5 } \\ { y + 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5y+2x=5$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=-2x+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-2x+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -2x+5.

$$y=-\frac{2}{5}x+1$$

Gantikan -\frac{2x}{5}+1 dengan y dalam persamaan lain, y+2x=5.

$$-\frac{2}{5}x+1+2x=5$$

Tambahkan -\frac{2x}{5} pada 2x.

$$\frac{8}{5}x+1=5$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{8}{5}x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{8}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{5}{2} dengan x dalam y=-\frac{2}{5}x+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{2}{5}\times \frac{5}{2}+1$$

Darabkan -\frac{2}{5} dengan \frac{5}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y=-1+1$$

Tambahkan 1 pada -1.

$$y=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2}&-\frac{2}{5\times 2-2}\\-\frac{1}{5\times 2-2}&\frac{5}{5\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 5\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{5}{8}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

Tolak y+2x=5 daripada 5y+2x=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5y-y+2x-2x=5-5$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5y-y=5-5$$

Tambahkan 5y pada -y.

$$4y=5-5$$

Tambahkan 5 pada -5.

$$4y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam y+2x=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$