Selesaikan {l}{5x-y=5}{y=1/5x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 5 } \\ { y = \frac { 1 } { 5 } x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24} \approx 1.041666667$$

$$y=\frac{5}{24}\approx 0.208333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{5}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-y=5$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali y+5.

$$x=\frac{1}{5}y+1$$

Gantikan \frac{y}{5}+1 dengan x dalam persamaan lain, -\frac{1}{5}x+y=0.

$$-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}y+1\right)+y=0$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali \frac{y}{5}+1.

$$-\frac{1}{25}y-\frac{1}{5}+y=0$$

Tambahkan -\frac{y}{25} pada y.

$$\frac{24}{25}y-\frac{1}{5}=0$$

Tambahkan \frac{1}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{24}{25}y=\frac{1}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{24}{25} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{5}{24}$$

Gantikan \frac{5}{24} dengan y dalam x=\frac{1}{5}y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{5}{24}+1$$

Darabkan \frac{1}{5} dengan \frac{5}{24} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1}{24}+1$$

Tambahkan 1 pada \frac{1}{24}.

$$x=\frac{25}{24}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{5}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{5}}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&\frac{5}{24}\\\frac{1}{24}&\frac{25}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 5\\\frac{1}{24}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\\\frac{5}{24}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{5}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Untuk menjadikan 5x dan -\frac{x}{5} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -\frac{1}{5} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-\frac{1}{5}\times 5x-\frac{1}{5}\left(-1\right)y=-\frac{1}{5}\times 5,5\left(-\frac{1}{5}\right)x+5y=0$$

Permudahkan.

$$-x+\frac{1}{5}y=-1,-x+5y=0$$

Tolak -x+5y=0 daripada -x+\frac{1}{5}y=-1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-x+x+\frac{1}{5}y-5y=-1$$

Tambahkan -x pada x. Seubtan -x dan x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{1}{5}y-5y=-1$$

Tambahkan \frac{y}{5} pada -5y.

$$-\frac{24}{5}y=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{24}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{5}{24}$$

Gantikan \frac{5}{24} dengan y dalam -\frac{1}{5}x+y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{5}{24}=0$$

Tolak \frac{5}{24} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{5}x=-\frac{5}{24}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=\frac{25}{24}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$