Selesaikan {l}{5x-y=110}{9y-x=110}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 110 } \\ { 9 y - x = 110 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=25$$

$$y=15$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-y=110$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=y+110$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+110\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali y+110.

$$x=\frac{1}{5}y+22$$

Gantikan \frac{y}{5}+22 dengan x dalam persamaan lain, -x+9y=110.

$$-\left(\frac{1}{5}y+22\right)+9y=110$$

Darabkan -1 kali \frac{y}{5}+22.

$$-\frac{1}{5}y-22+9y=110$$

Tambahkan -\frac{y}{5} pada 9y.

$$\frac{44}{5}y-22=110$$

Tambahkan 22 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{44}{5}y=132$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{44}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=15$$

Gantikan 15 dengan y dalam x=\frac{1}{5}y+22. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{5}\times 15+22$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 15.

$$x=3+22$$

Tambahkan 22 pada 3.

$$x=25$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=25,y=15$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&\frac{5}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}\times 110+\frac{1}{44}\times 110\\\frac{1}{44}\times 110+\frac{5}{44}\times 110\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=25,y=15$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Untuk menjadikan 5x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-5x-\left(-y\right)=-110,5\left(-1\right)x+5\times 9y=5\times 110$$

Permudahkan.

$$-5x+y=-110,-5x+45y=550$$

Tolak -5x+45y=550 daripada -5x+y=-110 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-5x+5x+y-45y=-110-550$$

Tambahkan -5x pada 5x. Seubtan -5x dan 5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-45y=-110-550$$

Tambahkan y pada -45y.

$$-44y=-110-550$$

Tambahkan -110 pada -550.

$$-44y=-660$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -44.

$$y=15$$

Gantikan 15 dengan y dalam -x+9y=110. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+9\times 15=110$$

Darabkan 9 kali 15.

$$-x+135=110$$

Tolak 135 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=25$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=25,y=15$$