Selesaikan {l}{5x-6y=-3}{5x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = - 3 } \\ { 5 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-6y=-3$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=6y-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-3\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 6y-3.

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}$$

Gantikan \frac{6y-3}{5} dengan x dalam persamaan lain, 5x-3y=3.

$$5\left(\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}\right)-3y=3$$

Darabkan 5 kali \frac{6y-3}{5}.

$$6y-3-3y=3$$

Tambahkan 6y pada -3y.

$$3y-3=3$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{6}{5}\times 2-\frac{3}{5}$$

Darabkan \frac{6}{5} kali 2.

$$x=\frac{12-3}{5}$$

Tambahkan -\frac{3}{5} pada \frac{12}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{9}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{9}{5},y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{2}{5}\times 3\\-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{9}{5},y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

Tolak 5x-3y=3 daripada 5x-6y=-3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-5x-6y+3y=-3-3$$

Tambahkan 5x pada -5x. Seubtan 5x dan -5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y+3y=-3-3$$

Tambahkan -6y pada 3y.

$$-3y=-3-3$$

Tambahkan -3 pada -3.

$$-3y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 5x-3y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-3\times 2=3$$

Darabkan -3 kali 2.

$$5x-6=3$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{9}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{9}{5},y=2$$