Selesaikan {l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 19y daripada kedua-dua belah.

$$5x-4y-19y=0$$

Gabungkan -4y dan -19y untuk mendapatkan -23y.

$$5x-23y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-23y=0$$

Tambahkan 23y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=23y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 23y.

$$x=\frac{23}{5}y$$

Gantikan \frac{23y}{5} dengan x dalam persamaan lain, 5x+2y=71.

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

Darabkan 5 kali \frac{23y}{5}.

$$23y+2y=71$$

Tambahkan 23y pada 2y.

$$25y=71$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$y=\frac{71}{25}$$

Gantikan \frac{71}{25} dengan y dalam x=\frac{23}{5}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

Darabkan \frac{23}{5} dengan \frac{71}{25} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1633}{125}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 19y daripada kedua-dua belah.

$$5x-4y-19y=0$$

Gabungkan -4y dan -19y untuk mendapatkan -23y.

$$5x-23y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 19y daripada kedua-dua belah.

$$5x-4y-19y=0$$

Gabungkan -4y dan -19y untuk mendapatkan -23y.

$$5x-23y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Tolak 5x+2y=71 daripada 5x-23y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

Tambahkan 5x pada -5x. Seubtan 5x dan -5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-23y-2y=-71$$

Tambahkan -23y pada -2y.

$$-25y=-71$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -25.

$$y=\frac{71}{25}$$

Gantikan \frac{71}{25} dengan y dalam 5x+2y=71. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

Darabkan 2 kali \frac{71}{25}.

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

Tolak \frac{142}{25} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=\frac{1633}{25}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1633}{125}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$